利用熟知的Hopf纤维化，可以得到$S^3$的一个亏格为1的Heegaard分解。回顾在这篇文章中，我们有 $\mathrm{U}(n)$ 上的 $\mathrm{U}(k)$-主丛结构
$$
\mathrm{U}(k)\to \mathrm{U}(n) \to \mathrm{U}(n)/ \big(\mathrm{U}(n-k)\times \mathrm{U}(k)\big)
$$
取 $n=2$，$k=1$，得到
$$
\mathrm{U}(1)\to \mathrm{U}(2)/\mathrm{U}(1)\to \mathrm{U}(2)/ (\mathrm{U}(1)\times \mathrm{U}(1))
$$
此即 $S^1 \to S^3 \to S^2$，即 $p: S^3\to S^2$ 是 $S^1$-纤维丛。事实上，投影映射对应的同伦类 $[p]\in\pi_3(S^2)$ 是非平凡元。注意到$S^2=D^2_+ \sqcup_{S^1} D^2_-$，且 $D^2$ 是可缩的，于是纤维丛 $S^3\to S^2$ 在 $D^2_+$ 和 $D^2_-$ 上都是平凡 $S^1$-丛 $D^2_+\times S^1$ 和 $D^2_-\times S^1$。 于是作为总空间，
$$
S^3 \cong D^2_+\times S^1 \sqcup_{S^1\times S^1} D^2_-\times S^1
$$
其中，倘若记局部平凡化为
$$
\varphi_1: p^{-1}(D_+^2) \to D^2\times S^1\\
\varphi_2: p^{-1}(D_-^2) \to D^2\times S^1
$$
那么公共部分$S^1\times S^1$上的转移函数为
$$
f=\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}: S^1\times S^1 \overset{\varphi_1^{-1}}{\longrightarrow} p^{-1}(D^2_+\cap D^2_-) \overset{\varphi_2}{\longrightarrow} S^1\times S^1
$$
该转移函数给出了 gluing homeomorphism，以上信息给出了 $S^3$ 的Heegaard分解。
计算转移函数
欲要计算转移函数 $f:S^1\times S^1\to S^1\times S^1$，首先考虑投影映射 $p:S^3\to S^2$ 的表达式。注意到
$$
S^2=\mathrm{U}(2)/(\mathrm{U}(1)\times \mathrm{U}(1))\cong \lbrace [z_1:z_2]: |z_1|^2 + |z_2|^2 =1, [\omega z_1:\omega z_2]=[z_1:z_2], \forall \omega\in\mathrm{U}(1)\rbrace\\
S^3 = \lbrace (z_1,z_2) : |z_1|^2 + |z_2|^2 =1 \rbrace
$$
于是 $p(z_1,z_2)=[z_1:z_2]$。另外，$S^2=\mathbb{C}\cup\lbrace \infty\rbrace=U_1\cup U_2$ 作为复流形可以分出两个 canonical chart
$$
U_i=\lbrace [z_1,z_2]\in S^2: z_i\neq 0\rbrace\cong\mathbb{C},\quad i=1,2
$$
此处所选择的是「去极点坐标」，每一个坐标卡都包含上面的「半球坐标」。
其上的标准坐标分别为 $w_1=\frac{z_2}{z_1}$, $w_2=\frac{z_1}{z_2}$。这一标准坐标，可以诱导 $p: S^3\to S^2$ 的平凡化
$$\begin{aligned}
\varphi_1: p^{-1}(U_1) &\to \mathbb{C}\times S^1 \\
(z_1,z_2) &\mapsto \left(\frac{z_2}{z_1},\frac{z_1}{|z_1|}\right)\\
\left(\frac{e^{i\theta}}{\sqrt{1+|w|^2}}, \frac{w\cdot e^{i\theta}}{\sqrt{1+|w|^2}} \right) &\leftarrow (w,e^{i\theta})
\end{aligned}
$$
同理，$U_2$ 上的局部平凡化可以表示成
$$\begin{aligned}
\varphi_2: p^{-1}(U_2) &\to \mathbb{C}\times S^1 \\
(z_1,z_2) &\mapsto \left(\frac{z_1}{z_2},\frac{z_2}{|z_2|}\right)
\end{aligned}
$$
因为 $D^2_-\subset U_1$, $D^2_+\subset U_2$，所以如果将标准坐标卡的平凡化限制到 $D^2_+$ 和 $D^2_-$ 上，此时也会得到一个 $S^3$ 的局部平凡化。在这个标准表示下，赤道 $S^1$ 就是两个半球 $D^2_+$ 和 $D^2_-$ 的交集，即
$$
\begin{aligned}
S^1 &\cong \left\lbrace [z_1:z_2]: |z_1|^2+ |z_2|^2 =1, \frac{|z_2|}{|z_1|}=1=\frac{|z_1|}{|z_2|} \right\rbrace\\
&= \left\lbrace [z_1:z_2]: |z_1|=|z_2|=\frac{1}{2} \right\rbrace
\end{aligned}
$$
于是转移函数为
$$
\begin{aligned}
f:S^1\times S^1 &\overset{\varphi^{-1}_1}{\longrightarrow} p^{-1}(S^1) \overset{\varphi_2}{\longrightarrow} S^1\times S^1 \\
(e^{i\alpha},e^{i\beta}) &\mapsto \left(\frac{e^{i\alpha}}{\sqrt{2}},\frac{e^{i\beta}}{\sqrt{2}}\right) \mapsto (e^{i(\alpha-\beta)},e^{i\beta})
\end{aligned}
$$
若 $S^1\times\lbrace 1\rbrace$ 是经圆，$\lbrace 1 \rbrace \times S^1$ 是纬圆，则 $f$ 是关于经圆的 (+1)-Dehn twist，up to 左转或右转的约定。
快速观察：meridian $m:[0,1]\to S^1\times S^1$ 定义为 $$m(t)=(e^{2\pi it},1)$$ 在作用 $f$ 后得到的 $f\circ m=m$ 保持不动，而 longitude $l: [0,1]\to S^1\times S^1$ 定义为 $$l(t)=(1,e^{2\pi it})$$ 在作用 $f$ 后变为 $l-m$。
总而言之，这就给出了一个 $S^3$ 的亏格1 Heegaard分解。