纤维丛和向量丛
首先我们来区分一下「纤维丛」和「向量丛」从定义上的区别。
设 $E$ 和 $B$ 是拓扑空间，其中 $B$ 是连通的。称 $p:E\to B$ 是一个纤维是$F$的 fiber bundle (locally trivial fibration)，若
（1）$p^{-1}(b)=F$；
（2）$p$是满射；
（3）对于任意 $x\in B$ ，存在其开邻域$U$与同胚，使得 $p^{-1}(U)\cong U\times F$ 也是逐纤维同构。
在纤维丛的定义中，我们尚未引入线性结构：如果对于 $x$ 的两个不同的局部平凡化，那么对应的转移函数在单个点上可以是 $\mathrm{Homeo}(F)$ 中的映射。然而，对于向量丛我们要求：
（1）$F\cong p^{-1}(b)$ 是 $k$ 维（实或者复）向量空间；
（2）局部平凡化 $p^{-1}(U)\cong U\times F$ 是逐点的线性空间同构，即转移函数只能是 $\mathrm{GL}_k(\mathbb{R})$ 中的映射，而非 $\mathrm{Homeo}(\mathbb{R}^k)$。
一些向量丛的例子
以下是一些可以纤维丛的常见例子。
e.g. (典范丛)
- Mobius线丛 $E:=[0,1]\times\mathbb{R}/(0,t)\sim (1,-t)$ 是其腰圆 $S^1$ 上的向量丛/线丛；
- $\mathbb{RP}^n$ 上的平凡线丛 $\gamma_1$，又称废话丛。注意 $\mathbb{RP}^1=S^1$；
- Grassmann流形 $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{R}^n)$ 上的平凡丛$\gamma_k$是 $k$ 维向量丛。
- $\gamma_k$的正交丛 $\gamma_k^\perp$：利用 $\gamma_k\subset\mathrm{Gr}_{k,n}\times\mathbb{R}^n$ 的自然嵌入，可以造出正交的概念，把 $(x,\nu)$ 中的 $\nu$ 取成和 $x$ 正交的向量，这是一个 $(n-k)$-维向量丛。
e.g. (Associated bundle) 设 $F\curvearrowleft G$ 是 effective 作用，即 $G\to\mathrm{Homeo}(F)$ 是单射， $E$ 是 $G$-主丛，则 $E$ 的配丛为 $E\times_G F$，是纤维为$F$的纤维丛。
e.g. (正交群、酉群、Stiefel流形、Grassmann流形) 考虑Stiefel流形
$$
V_k(\mathbb{R}^n):=\lbrace(v_1,v_2,\ldots,v_k)\in(\mathbb{R}^n)^k:\mathrm{rank}=k\rbrace=\lbrace M\in\mathbb{R}^{n\times k}:\mathrm{rank}(M)=k\rbrace\\
V_k(\mathbb{R}^n)^O:=\lbrace(v_1,v_2,\ldots,v_k)\in(\mathbb{R}^n)^k: v_1,\ldots,v_k \text{ are orthonormal}\rbrace
$$
Stiefel流形 $V_k(\mathbb{R}^n)$ 是Grassmann流形 $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{R}^n)$ 上的 $\mathrm{GL}_k(\mathbb{R})$-主丛：
Proof. 对于任意 $[v_1,v_2,\ldots,v_k]\in \mathrm{Gr}_k(\mathbb{R}^n)$，其在投影映射 $\pi:V_k(\mathbb{R}^n)\to\mathrm{Gr}_k(\mathbb{R}^n)$ 下的原像为$$\pi^{-1}([v_1,v_2,\ldots,v_k])={(w_1,w_2,\ldots,w_k):\mathrm{span}\langle w_1,w_2,\ldots,w_k\rangle = [v_1,v_2,\ldots,v_k]}\cong\mathrm{GL}_k(\mathbb{R}).$$ 因为对任意 $(w_1,\ldots,w_k)\in[v_1,\ldots,v_k]$，总存在唯一的 $M\in\mathrm{GL}_k$，使得 $w=vM$。正交Stiefel流形 $V_k(\mathbb{R}^n)^O$ 是Grassmann流形 $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{R}^n)$ 上的 $\mathrm{O}_k(\mathbb{R})$-主丛：
Proof. 类似地，对任意 orthonormal $(w_1,\ldots,w_k)\in[v_1,\ldots,v_k]$，总存在唯一的 $M\in\mathrm{O}_k$，使得 $w=vM$。酉群 $\mathrm{U}(n)$ 是单位圆 $S^{2n-1}$ 上的 $\mathrm{U}(n-1)$-主丛：
Proof. 基于同胚 $\rho:\mathrm{U}(n)/\mathrm{U}(n-1)\to S^{2n-1}$。注意到 $U(n)$ 在 $S^{2n-1}$ 上的作用是传递的，所以对于任意 $v\in S^{2n-1}$，总存在unitary矩阵 $U\in\mathrm{U}(n)$，使得 $Ue_1=v$。于是 $$\pi^{-1}(v)=U\cdot\pi^{-1}(e_1)$$ 从而只需要验证 $\pi^{-1}(e_1)$。然而，注意到所有满足 $Ue_1=e_1$ 的unitary矩阵 $U$ 必然是对角阵 $$U=\begin{pmatrix}
1 & 0 &\cdots &0\\
0 & & &\\
\vdots & & U’\\
0 & & &
\end{pmatrix}$$其中$U’\in\mathrm{U}(n-1)$（此处请自行在纸上设未知数验证）。从而$\pi^{-1}(e_1)\cong\mathrm{U}(n-1)$。酉群 $\mathrm{U}(n)$ 是Stifel流形 $V_k(\mathbb{C}^n)$ 上的 $\mathrm{U}(n-k)$-主丛：
Proof. 类似对 $e=\binom{I_k}{0}\in\mathbb{C}^{n\times k}$，说明「满足 $Ue=e$ 的unitary矩阵 $U$ 都形如$$U=\begin{pmatrix}
I_k & 0\\
0 & B
\end{pmatrix}$$其中 $B\in\mathrm{U}(n-k)$。酉群 $\mathrm{U}(n)$ 是Grassmann流形 $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{C}^n)$ 上的 $\mathrm{U}(k)\times\mathrm{U}(n-k)$-主丛;
正交群 $\mathrm{O}(n)$ 是Grassmann流形 $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{R}^n)$ 上的 $\mathrm{O}(k)\times\mathrm{O}(n-k)$-主丛。
主丛
$G$-主丛是拓扑群作为纤维的纤维丛，这种结构蕴含了群作用。
设 $G$ 是拓扑群，$(F,E,B)$ 是纤维丛。若 $F=G$ ，且满足如下条件
- $G$ 在 $E$ 上有自由、逐纤维的右作用 $\mu:E\times G\to E$ ；
- 逐纤维上的作用 $\mu_x: p^{-1}(x)\times G\to p^{-1}(x)$ 是自由且transitive的作用；
- 存在 $G$-equivariant 的局部平凡化。
则称 $(F,E,B)$ 是一个 $G$-主丛。
注记： 虽然大前提说「$E$ 是纤维丛」就保证了「局部平凡化」的存在性，但这里还要求所存在「局部平凡化」中，至少要有「G-等变的局部平凡化」。
如果不在一开始要求 $E$ 是一个纤维丛，那么所有「逐纤维」和「局部平凡化」的论述都被丢下，只剩下 $E$ 上的 $G$-自由作用，完全只剩下拓扑空间 $E$ 和上面的拓扑群作用 $G$ ，底空间 $B$ 成为商空间 $E/G$ 。本文的主要内容就是通过构造一个自由作用但不是纤维丛的反例，来说明「拓扑空间 $E$ 上的拓扑群自由作用，未必都能诱导形如 $E\rightarrow E/G$ 的纤维丛」。
e.g. 令 $E=\mathbb{R}$ ，拓扑群 $G=\mathbb{Q}$ 作为 $\mathbb{R}$ 的子群，其上有自然的平移作用$\mathbb{R}\times\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$，定义为
$$
(t,q)\mapsto t+q.
$$
首先，这个作用是自由作用，因为
$$
t\cdot q= t \Leftrightarrow q=0,\quad \forall t\in\mathbb{R}.
$$
另外，底空间 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 上的商拓扑是平凡拓扑（即非空开集只有全空间自己）：假设 $U\subset\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 是其中的非空开集，那么 $p^{-1}(U)$ 是$\mathbb{R}$中的开集，设 $x\in p^{-1}(U)$ ，则有邻域 $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset p^{-1}(U)$ 。由群作用，知$q+x\in p^{-1}(U)$。这样一来，
$$
p^{-1}(U)=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}} (q+x-\varepsilon,q+x+\varepsilon).
$$
而 $\mathbb{Q}$ 又在 $\mathbb{R}$ 中稠密，所以这些开区间一定会覆盖整个 $\mathbb{R}$ ，即 $p^{-1}(U)=\mathbb{R}$ ，这就推知任意开集 $U=\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 是全空间。
反设这个群作用具有局部平凡化，那么由于底空间只有平凡拓扑，于是局部平凡化一定是全局平凡化，推知 $\mathbb{R}\cong\mathbb{R}/\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ 作为拓扑空间。但注意到$\mathbb{Q}$是不连通的，导致 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ 也是不连通的，各个连通分支形如$\mathbb{R}/\mathbb{Q}\times{q}$。而 $\mathbb{R}$ 是连通的，这就导出矛盾。
所以 $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 不是 $\mathbb{Q}$-主丛。
后日谈
可容许子群
为了解决这个问题，我们考虑如下定义：
设 $H<G$ 是拓扑群的子群，若 $G\to G/H$ 是主丛，则称 $H$ 是 $G$ 的可容许子群（admissible subgroup）。可以对一个$G$-主丛，商去一个 $G$ 的不变子群 $H$ ，得到一个新的主丛：
Prop. 设 $G\to P \to B$ 是 $G$-主丛，$H<G$ 是可容许子群，则 $H\to P\to B$ 是主 $H$-丛。
Proof. 熟知 $P=P\times_G G$, 与 $P/H = P\times_G (G/H)$ 。因为$$\pi_1:P\to P/G$$ $$\pi_2:G\to G/H$$都是局部平凡的，所以对于任意 $p G\times gH \in (P/G) \times (G/H)$，存在 $gH$ 的开邻域
$$
W\subset G/H,
$$
使得 $\pi_2^{-1}(W)\cong W\times H$. 存在 $pH$ 的开邻域
$$
V\subset P/G
$$
使得 $\pi_1^{-1}(V)\cong V\times G$。 于是取 $U=V\times W$，得
$$
\pi^{-1}(U) \cong V\times \pi_2^{-1} (W) \cong V\times W\times H = U\times H
$$
这就证明了 $P\to P/H$ 的局部平凡性。 $\square$
商去可容许子群是纤维丛
利用配丛的定义，可以直接地给出如下构造纤维丛的方式。
Prop. 设 $G$ 是紧拓扑群，$K<H<G$ 是可容许的闭子群，则投影映射 $$p: G/H\to G/K$$ 是 $H/K$-纤维丛。
Proof. 由如下identification:
$$G/K\cong G\times_H (H/K).$$ 因为 $H<G$ 是可容许子群，所以 $G\to G/H$ 是 $H$-主丛。另外，$H/K \curvearrowleft H$ 是自然作用，于是由配丛的定义
$$G\times_H (H/K)\to G/H$$ 是 $H/K$-纤维丛。 $\square$