仿射簇的吹起

Blow-up of affine varieties

1. 什么是blow up? 什么是例外除子? 首先, 我们介绍的是对affine variety $X$, 在函数$f_1,\ldots, f_r\in A(X)$处的吹起. 将给定的这些函数合成为$U=X\backslash$上的函数\[\begin{aligned}
f:U&\rightarrow\mathbb{P}^{r-1}\\
x&\mapsto [f_1(x):\ldots:f_r(x)]
\end{aligned}\] 于是我们可以得到函数$f$的图像 \[
\Gamma_f\subset U\times \mathbb{P}^{r-1}.
\]尽管$\Gamma_f\subset U\times \mathbb{P}^{r-1}$是闭子集, 但却未必是$X\times \mathbb{P}^{r-1}$的中的闭集. 于是我们可以定义$$\tilde{X}:=\overline{\Gamma_f}\subset X\times \mathbb{P}^{r-1}$$为$X$在$f_1,\cdots f_r$处的吹起. 那么, 投影映射$X\times\mathbb{P}^{r-1}\rightarrow X$自然地诱导一个从blow up $\tilde{X}$打到$X$的投影映射\[\pi:\tilde{X}\rightarrow X.\]注意到$\pi|_{\Gamma_f}: \Gamma_f\rightarrow U\subset X$是同构, 于是可以定义该吹起的例外除子 (exceptional divisor)为 “$\tilde{X}$中不打到$U$的部分”, 既
\begin{aligned}
\tilde{X}\backslash \Gamma_f&=\tilde{X}\backslash \pi^{-1}(D(f_1,\ldots,f_r)) = \pi^{-1}(X)\backslash \pi^{-1}(D(f_1,\ldots,f_r))\\
&= \pi^{-1}(V(f_1,\ldots,f_r)).
\end{aligned}

2. 子簇的吹起 如果$Y\subset X$是仿射簇$X$的闭子簇, 那么取定$f_1,\ldots,f_r\in A(X)$, 这些函数也能看作$Y$上的函数, 所以也可以将$Y$在$f_1,\ldots,f_r$处吹起, 得到$\tilde{Y}$. 问题在于: $\tilde{Y}$和$\tilde{X}$是什么关系?

注意到$Y\times\mathbb{P}^{r-1}\subset X\times\mathbb{P}^{r-1}$是闭子集, 而闭子集的闭子集依旧是闭子集, 所以$f$在$Y\times\mathbb{P}^{r-1}$中的图像之闭包, 一定是在$X\times\mathbb{P}^{r-1}$中的图像之闭包的自己. 进一步地, $\Gamma_f(Y)\subset Y\times\mathbb{P}^{r-1}$的闭包$\overline{\Gamma_f}$, 事实上就是$\overline{\Gamma_f\cap Y}$在$\tilde{X}$中的闭包. 换言之, $$\tilde{Y}=\overline{Y\cap U}.$$

这样一来, 对于一个仿射簇$X$, 如果它的不可约分解是$X=X_1\cup\cdots\cup X_n$, 那么$\tilde{X}=\overline{X_1}\cup\cdots\cup\overline{X_n}$, 尽管不可约仿射簇的blow-up未必也不可约(?), 但总有这个覆盖. 所以我们总是只需要考虑blow-up of irreducible varieties.

3. 例子: 在单个函数处吹起 如果我们只选取一个函数$f$, 并且限定$X$是不可约的仿射簇, 那么$X$在$f$处的吹起$$\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^0\cong X.$$ 这时,

1. 若$f=0$, 则$U=\emptyset$. 此时$\tilde{X}=\emptyset$;
2. 若$f\neq 0$, 则$U\neq\emptyset$是开集. 因为$X$是不可约的, 所以$\Gamma_f=\bar{U}=X$. 进而$\tilde{X}=X$.

4. 更强的包含 事实上, $\tilde{X}$不仅包含在$X\times\mathbb{P}^{r-1}$中, 我们还能找到另一个包含$\tilde{X}$的闭集.

5. 吹起只取决于所选理想 事实上, 如果$f_1,\ldots,f_r$和$g_1,\ldots,g_s$生成$A(X)$中的相同理想$I$, 那么$X$在$f_1,\ldots,f_r$处的吹起, 和在$g_1,\ldots,g_s$处的吹起是典范同构的 (存在同构, 使得某个包含$\pi,\pi’$的图交换). 换言之, blow-up只取决于所选择函数生成的理想. 这样一来, 如果$Y\subset X$是闭子簇, 那么可以在$I(Y)$处吹起$X$, 称为在$Y$处吹起$X$. 这样一来, 我们就真的可以把一个仿射簇的一部分 “吹起” 了.

6. 仿射平面吹起原点 最常用的还是仿射平面$\mathbb{A}^n$吹起原点, 即吹起在coordinate functions $x_1,\ldots,x_n$处. 此时的好处是: 我们会得到一个具体的的刻画.