扭结Floer同调区分「切片圆盘」

本篇主要抄一下Juhasz和Zemke在2020年的文章Distinguishing Slice Disks Using Knot Floer Homology。现正持续更新中！

1. 简介

我们希望做到如下事情：

• 分类$D^4$中的扭结$K$的光滑切片圆盘；
• 考虑Fox提出的「切片圆盘猜想」，即是「Every slice knot is ribbon」，其反向由Fox已经证明，即「Every ribbon knot is slice」；

在文章中，有一些等价关系需要注意，他们的强度也许不同（？）

1. 「保持$B^4$边界恒同的外围同痕」
2. 「微分同胚」$B^4\rightarrow B^4$
3. 「保持边界恒同的稳定外围同痕」
4. 「稳定微分同胚」

「稳定微分同胚」指的是：若通过与同样数量的$S^2\times S^2$连通和，两个流形如果是微分同胚的，那么就是稳定微分同胚的。Gompf在1984年证明了：对于稳定拓扑同胚的2个闭光滑4维流形$M$和$M’$，那么

1. $M\# S^2\tilde{\times} S^2$与$M’\# S^2\tilde{\times} S^2$是稳定微分同胚的；
2. 如果M和M’都是可定向的，那么他们本身就互相稳定微分同胚。

所以「稳定微分同胚」弱于微分同胚，且与「稳定拓扑同胚」相差不大。

最终可以学习到以下理论：

1. 用knot Floer homology构造slice disk的不变量 [Marengon, Juhasz, 2016]；
2. 利用link Floer TQFT构造trace/cotrace映射；
3. 在一个无穷多slice disks的族上，写一些不变量的公式。利用构造的不变量and公式，可以在「stable isotopy和stable diffeomorphism」的意义下，区分这些切片圆盘。事实上，利用某些基本群就可以在「stable isotopy」的意义下区分一些切片圆盘，但是这个结果似乎不太能拓展到「stable diffeomorphism」中；
4. 对比上面所说的「基本群方法」和「Heegaard Floer方法」，试图寻找基本群和link cobordism的关系？

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具体来说，给定扭结$K\subset S^3$

• $B$：扭结$K$上某点的邻域；
• $d:(S^3,K)\rightarrow (S^3,K)$自同胚，使得$d|_B=\mathrm{id}$​;

利用

1. deform-spinning (Litherland, 1979);
2. twist-spinning (Zeeman, 1965);
3. roll-spinning (Fox, 1966);

可以得到$-K\# K$的切片圆盘$D_{K,d}$，并且

1. 切片圆盘$D_{K,d}$的diffeomorphism type都相同，无论$B$如何选取 [Prop 3.10];
2. 但是$D_{K,d}$的isotopy class却由d在映射类群$\mathrm{Diff}(S^3,K,B)$的类唯一决定，这就和$B$的选取有关。

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同时，我们考虑decorated knot $(K,P)$的切片圆盘$D=D_{K,P}$。利用该切片圆盘，可以得到「帽子版本」Heegaard Floer同调中的一个同调类
$$
t_{D,P}\neq 0\in \widehat{\mathrm{HFK}}(K,P)
$$
然后断言：$t_{D,P}$是切片圆盘$D$的同痕不变量，并且t在D和2-扭结连通和时保持不变。如果记$V:=\widehat{\mathrm{HFK}}(K,P)$，那么有定理5.1表示：
$$
\widehat{\mathrm{HFK}}(-K\# K,P)\cong V^*\otimes V\cong\mathrm{Hom}(V,V)
$$
并且在这个同构下，$t_{D,P}$打到自同胚$d$诱导的映射$d^*\in\mathrm{Hom}(V,V)$。特别地，如果自同胚$d$恰好是诱导roll-spinning的那个微分同胚，那么
$$
\LARGE{t_{D_{k,r^l},P}}
$$
能够在稳定同痕下区分这一族切片圆盘${D_{k,r^l}:l\in\mathbb{Z}}$。这一结果当然是强大的，因为对无穷多个扭结$K$，这些切片圆盘的补空间时微分同胚的。这样一来，我们也特别地得到了decorated knot $(K,P)$，使得它的某两个切片圆盘具有不同的不变量t。

一般地，还可以考虑两个扭结$K$, $K’$确定的切片圆盘：

• $\mathcal{C}:(K,P)\rightarrow (K’,P’)$：一个decorated concordance；
• $D_\mathcal{C}$：$-K\# K$的切片圆盘；

那么类似与上面的定理，我们会有
$$
\widehat{\mathrm{HFK}}(-K\# K’,P)\cong V^*\otimes V’\cong\mathrm{Hom}(V,V’)
$$
但是，这个同构并非自然同构：它由一个「连通和球面$」S$决定。无论如何，选取一个这样的同构，$t_{D_\mathcal{C}}$就会打到$F_\mathcal{C}\in\mathrm{Hom}(V,V’)$中，这个映射的rank会给我们带来切片圆盘$D$的不变量（与连通和球面$S$有关），可以记为
$$
\mathrm{rk}_S(D):=\mathrm{rk}(F_\mathcal{C}).
$$
有一些结论

• 如若$D_\mathcal{C}=D_K\natural D_{K’}$，则$\mathrm{rk}_S(D)=1$；
• 如若$K\neq K’$均不是素的，则「连通和球面」$S$唯一，此时$\mathrm{rk}(t_{D,P})$成为D的稳定微分同胚不变量；

下面一些结论可能更直接地和Heegaard Floer同调有关。

如果$D$是$-K\# K’$的切片圆盘，记$\mathrm{rk}(D):=\mathrm{t_{D,P}}$。

1. t是保持Alexander和Maslov分次的，于是rank(D)可以拆成$\mathrm{rk}_j(D,i)$和$\mathrm{rk}(D,i)$的分次版本。

• $H\subset D^4$：与切片圆盘$D$横截相交的properly embedded三维球，满足$\partial H=S$。

那么

Theorem 6.7 用trivial tangles $(D^3,D^1)$「盖上 (cap off)」$(H,D\cap H)$，可以得到链环$L\subset S^3$，这个链环满足$\mathrm{rk}_S(D)\leq\mathrm{rk}(\widehat{HFK}(L))$。特别地，如果这个链环是一个扭结，那么
$$
\max_{i\in\mathbb{Z}}{\mathrm{rk}_S(D,i)\neq 0}\leq g(L).
$$

在$t_{D,P}$这个不变量上，还有一个结论：

Theorem (Kim, 2010). 对于任意扭结$K$，存在从$K$到$K’$的concordance $C$，由某种$K$的satellite得到。利用这个concordance，可以有

• $K$, $K’$, $C:K\rightarrow K’$ concordance；
• $P$, $P’$: 分别是两个扭结的decoration；
• $\sigma$：concordance $C$上与P, P’均相容的decoration；
• $\mathcal{C}:=(C,\sigma)$；

若$D$和$D’$都分别是$K$和$K’$的切片圆盘，并且他们的$t$不同，那么
$$
t_{C\cup D,P’}\neq t_{C\cup D’,P’}
$$

这是因为$\mathrm{LHS}=F_\mathcal{C}(t_{D,P})$，而$\mathrm{RHS}=F_\mathcal{C}(t_{D’,P’})$，且concordance映射是单射。这个结论事实上告诉我们：如果$t$能区分「可能composite扭结」$K$的切片圆盘$(D,P)$和$(D’,P’)$，那么它就能在稳定同痕意义下，区分「素扭结$K’$的切片圆盘」$C\cup D$与$C\cup D’$。

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