从簇到概形

从簇到概形 05/22/2025 Xu Yuan 目录
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 1.  引言
 2.  仿射概型

1. 引言 在本篇中, 我们主要希望将簇上的认识, 推广到新概念 “概形 (scheme)” 上来. 稍微回忆一下: 我们首先在代数闭域$K$上, 定义了仿射簇的概念, 其上的正则函数 (regular functions) 赋予了仿射簇环空间 (ringed space) 的结构. 通过有限多个仿射簇的粘接, 我们提炼出了预簇 (prevariety) 的概念, 最后把具有分离性的预簇称为簇 (variety). 对于概形, 我们同样希望这样做. 在本篇中, 我们会借助对概形各种概念的定义, 来巩固对簇的认识.

2. 仿射概型 设$R$是一个环, 定义$R$的素谱$\spec(R)$为$R$中所有素理想构成的集合. 该集合也被称为$R$配成的\textbf{仿射概形}. 作为仿射簇的推广, $R$事实上应该看成$X=\spec(R)$的多项式环.

e.g.设$R=A(X)$, 其中$X$是代数闭域$K$上的仿射簇. 那么存在如下的一一对应
$$
\spec(R)\longleftrightarrow\{Y\subseteq X\text{是不可约子簇}\}
$$
e.g.若$R=K[x]=A(\mathbb{A}_K^1)$, 其中ground field $K$是代数闭域, 那么$R$的仿射概形为
\[\spec(R)=\{\langle x-a\rangle, \langle 0\rangle\}.\]
希望表达的是, 概型先给出了$R$作为 “多项式环”, 然后用多项式环来定义对象. 为了定义$R$上的元素如何在$X$上赋值, 我们首先定义仿射概形$X$在$P$处的\textbf{剩余域} (residue field), 作为$f\in R$在$P$处的取值范围: 设$P\in\spec(R)$, 定义
\[
\boxed{K(P):=\mathrm{Quot}(R/P)}
\]
为仿射概形$X$在$P$处的剩余域. 那么元素$f\in R$在$p\in\spec(R)$处的取值应该落在$K(P)$中. 为此, 我们定义
\[
f(P):=\frac{[f]}{1}\in K(P),
\]
其中$\boxed{[f]=f+P\in R/P}$. 这样一来, 如果$f(P)=0$, 那么$[f]=0\in R/P$, 即$f\in P$.
e.g. 设$X$是代数闭域$K$上的仿射簇, $R=A(X)$.

1. 取$a\in X$, $P=m_a=I_X(a)$是极大理想. 那么
   \[
   \begin{aligned}
   R/P & \rightarrow K \\
   [f] & \mapsto f(a)
   \end{aligned}
   \]
   给出了域同构.
   
2. 如果$Y\subseteq X$是不可约子簇, 取$P=I_X(Y)$为$R$的素理想, 那么$R/P=A(X)/I_X(Y)=A(Y)$,
   对应仿射概形在$P$处的剩余域是$Y$上所有有理函数构成的集合, 即
   \[
   K(P)=\mathrm{Quot}(A(Y))=K(Y)\]
   其中$K(Y)$是$Y$上所有有理函数构成的集合. 此时, $\forall f\in R=A(X)$, $f(P)\in K(P)=K(Y)$应当是$Y$上的有理函数. 细节上, $f\in A(X)$的等价类$[f]\in A(X)/I_X(Y)=A(Y)$是$f|_Y$, 那么
   \[
   f(P)=\frac{[f]}{1}=[f|_Y]\in K(Y)
   \]
   是$f$对应的函数作为$Y$上的有理函数的等价类.