数值分析笔记

此篇完全是为了通过考试. 我不喜欢数值分析, 但是不得不学.

目录
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 1.  Lagrangian插值多项式
 2.  Lagrangian插值多项式的计算
 3.  误差估计
 4.  样条函数

1. Lagrangian插值多项式 给定闭区间$I=[a,b]$, 定义在$I$上的函数$f$, 以及$I$的一个分割\[\{x_0, x_1,\ldots, x_n\},\]其中$x_0,\ldots,x_n$是互异的. Lagrangian多项式所做到的, 就是给出一个$n$次的多项式, 使得该多项式在这些给定的点$\{x_i\}$处和$f$相等. 关于这样的多项式, 我们有如下唯一性定理:

如果记\(\pi(x)=\prod_i(x-x_i)\), 那么\(L_i(x)=\frac{\pi(x)}{\pi'(x_i)(x-x_i)}\).
2. Lagrangian插值多项式的计算 任何领域的experts都会注意到, 很难直接用定义的方式来计算一个对象. 在实际应用中, 一般用归纳法计算Lagrangian插值多项式:

1. $p_0(x)=f(x_0)$是完完全全的常数函数;
2. 注意到$p_k-p_{k-1}$在$x_0,\ldots,x_{k-1}$处vanishes, 那么可以令\[(p_k-p_{k-1})(x)=f[x_0,\ldots,x_k](x-x_0)\cdots(x-x_{k-1}),\]其中, $f[x_0,\ldots,x_k]\in\mathbb{R}$是$p_k(x)$的$x^k$-系数.

这样一来,
\[\begin{aligned}
p_n(x)&=p_{n-1}(x)+f[x_0,\ldots,x_n](x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})\\
&=\cdots=p_0(x)+\sum_{i=1}^n f[x_0,\ldots,x_i](x-x_0)\cdots(x-x_{i-1}).
\end{aligned}\]
而对于系数$f[x_0,\ldots,x_k]$, 有如下Newton公式归纳
\[\boxed{f[x_0,\ldots,x_k]=\frac{f[x_1,\ldots,x_k]-f[x_0,\ldots,x_{k-1}]}{x_k-x_0}}\]
从Newton公式知, $f[x_0,\ldots,x_k]$不依赖于$x_0,\ldots,x_k$的顺序.

3. 误差估计 在应用中, 我们会采取无穷范数来进行函数的误差估计. 给定插值点$\Theta_n=\{x_0,\ldots,x_n\}$, 这些插值点确定函数$\omega_n(x)=(x-x_0)\cdots(x-x_n)$, 和$n$次的牛顿多项式$p_n$. 那么函数$f$和$p_n$的误差满足
\[f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_n(\xi).\]
特别地, 数值上说,
\[\boxed{\Vert f-p_n\Vert\leq \frac{C_n}{(n+1)!}\Vert\omega_n\Vert_\infty},\]
其中$C_n:=\Vert f^{(n+1)}\Vert_\infty$.

4. 样条函数 如果函数的光滑性不好, 那么我们可以通过缩短区间长度来估计, 这样得到的分段函数称为样条函数 (spline function). 给定区间$I=[a,b]$的支撑点集
\[\Theta_n= \{a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\}, \]

定义\(h_i=x_i-x_{i-1}, \quad h=\max_{1\leq i\leq n}h_i\), 以及所有支撑点构成的集合为
\[\mathscr{G}:=\{ [x_{i-1},x_i] : i=1,2,\ldots, n\}. \]
给定光滑度$k$, 我们定义所有样条函数构成的空间为
\[\mathcal{S}_{\mathscr{G}}^{k,m} := \{u\in C^k(I) | \forall \tau\in\mathscr{G}, u|_\tau \in \mathbb{P}_m \}. \]

特别地, 如果$k>m$, 即全局光滑度大于多项式次数, 则样条函数空间就是全局的多项式函数空间, 即$\mathcal{S}_{\mathscr{G}}^{k,m}=\mathbb{P}_m$. 因此, 在下面的讨论中, 我们总是假设$k\leq m$.