本文中所称「流形」均为带边拓扑流形。
一种最常用的得到新三维流形的办法是：取出两个定向带边三维流形M1和M2，具有同胚的边界∂M1 ≈ ∂M2 = Σg，将这两个流形沿着边界，用某个同胚f : Σg → Σg粘接起来，得到闭三维流形
M := M1∪fM2.
并且领结引理告诉我们：粘接映射的同痕类[f] ∈ Mod(Σg)决定了产出流形M的同胚型。回过头来问：什么样的三维流形M1以Σg为边界？自然会想到实心环面及其边界和，这就把所有信息确定了：如果一个三维流形M可以通过两个相同的实心环面，由f ∈ Mod(Σg)粘接边界得到，那么这样的拆分方法就称为这个三维流形M的Heegaard分解。
然而，定义并不保证所有的三维流形都能够这样拆分，欲行Heegaard分解事，还需下面的定理。
Theorem. 任意三维流形都有Heegaard分解。
Proof.
有结果说「任意三维流形都有三角剖分」，我们基于该结果给出一个构造性证明。取定三维流形M的一个三角剖分T，将T的所有信息进行如下改造：
顶点：替换为D3;
边：替换为D2 × I，想象一个长而细的圆柱，两头凹陷；
三角形：替换为Δ × I，想象一个咬了三口的发糕；
三棱锥：替换为D3。
如此，可令H(T)为所有顶点和边的替换构成的2-handlebody，H′(T)为三角形和三棱锥替换构成的handlebody。这样一来，三角剖分给出了边界粘接的方法，如此得到Heegaard分解。▫
一个流形上可能存在很多不同的Heegaard分解。比如，给定一个Heegaard分解M = Hg∪fHg，考虑Mod(Σg) → Mod(Σg + 1)自然嵌入，于是可以通过平凡粘接环面
(add unknotted 1-handle)，来使得Heegaard分解的亏格增长
M = Hg + 1∪f′Hg + 1
这样的过程称为稳定化。如果两个Heegaard分解能通过稳定化得到同一个Heegaard分解，那么这两个Heegaard分解称作是稳定等价的。事实上：
Theorem.
同胚的三维流形的不同Heegaard分解之间是稳定等价的。
Proof. 证明分为两步
由三角剖分T和T′得来的Heegaard分解是稳定等价的；
对于任意Heegaard分解，存在某个三角剖分T，使得该Heegaard分解与T给出的Heegaard分解时稳定等价的。
第一步的证明依靠「任意两个三角剖分可以通过重心剖分 (barycentric subdivision)，找到共同的子三角剖分」，并且重心剖分可以用「粘接unknotted 1-handle」实现。
第二步的证明：先取定
Heegaard分解M = Hg ∪ Hg′；
Γ：1-柄体Hg的一个「轴心图」，那么Γ就是一个只有一个顶点和g条闭曲线的图；
T：M的三角剖分，使得Hg和Hg′都是子复形；
令τ = T|Hg和τ′ = T|Hg′，那么通过适当取子剖分，可以使得τ满足下面条件(a)，τ′满足下面条件(b)。
- τ(1)的三维加厚，可以由Γ的三维加厚，仅通过粘接unknotted
handles得到；
(b) τ′(1)的三维加厚，可以由τ′(1)|∂Hg′的三维加厚，仅通过粘接unknotted handles得到；
记「加厚」为U(⋅)，因为τ′满足条件(b)，并且τ′与τ在边界上相等，所以
$$
\begin{aligned}
U(\tau'^{(1)})&=U(\tau'^{(1)}|_{\partial H_g})\cup\text{unknotted
1-handles}\\
&=U(\tau^{(1)}|_{\partial H_g})\cup\text{unknotted 1-handles}\\
\end{aligned}
$$ 另外，τ又满足条件(a)，且τ和τ′合起来得到整个T，所以
$$
\begin{aligned}
H(T)=U(T^{(1)})&=U(\tau^{(1)})\cup\text{unknotted 1-handles}\\
&=U(\Gamma)\cup\text{更多unknotted 1-handles}\\
&=H\cup\text{更多unknotted 1-handles}
\end{aligned}
$$ 即是说给定的Heegaard分解，和T给出的Heegaard分解稳定等价，这就完成了证明。▫