扭结Floer同调区分「切片圆盘」

本篇主要抄一下Juhasz和Zemke在2020年的文章Distinguishing Slice Disks Using Knot Floer Homology。现正持续更新中！

1. 简介

我们希望做到如下事情：

• 分类D⁴中的扭结K的光滑切片圆盘；

• 考虑Fox提出的「切片圆盘猜想」，即是「Every slice knot is ribbon」，其反向由Fox已经证明，即「Every ribbon knot is slice」；

在文章中，有一些等价关系需要注意，他们的强度也许不同（？）

1. 「保持B⁴边界恒同的外围同痕」

2. 「微分同胚」B⁴ → B⁴

3. 「保持边界恒同的稳定外围同痕」

4. 「稳定微分同胚」

「稳定微分同胚」指的是：若通过与同样数量的S² × S²连通和，两个流形如果是微分同胚的，那么就是稳定微分同胚的。Gompf在1984年证明了：对于稳定拓扑同胚的2个闭光滑4维流形M和M^′，那么

1. $M\# S^2\tilde{\times} S^2$与$M'\# S^2\tilde{\times} S^2$是稳定微分同胚的；

2. 如果M和M’都是可定向的，那么他们本身就互相稳定微分同胚。

所以「稳定微分同胚」弱于微分同胚，且与「稳定拓扑同胚」相差不大。

最终可以学习到以下理论：

1. 用knot Floer homology构造slice disk的不变量 [Marengon, Juhasz, 2016]；

2. 利用link Floer TQFT构造trace/cotrace映射；

3. 在一个无穷多slice disks的族上，写一些不变量的公式。利用构造的不变量and公式，可以在「stable isotopy和stable diffeomorphism」的意义下，区分这些切片圆盘。事实上，利用某些基本群就可以在「stable isotopy」的意义下区分一些切片圆盘，但是这个结果似乎不太能拓展到「stable diffeomorphism」中；

4. 对比上面所说的「基本群方法」和「Heegaard Floer方法」，试图寻找基本群和link cobordism的关系？

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具体来说，给定扭结K ⊂ S³

• B：扭结K上某点的邻域；

• d : (S³, K) → (S³, K)自同胚，使得d|_B = id​;

利用

1. deform-spinning (Litherland, 1979);

2. twist-spinning (Zeeman, 1965);

3. roll-spinning (Fox, 1966);

可以得到−K#K的切片圆盘D_K, d，并且

1. 切片圆盘D_K, d的diffeomorphism type都相同，无论B如何选取 [Prop 3.10];

2. 但是D_K, d的isotopy class却由d在映射类群Diff(S³, K, B)的类唯一决定，这就和B的选取有关。

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同时，我们考虑decorated knot (K, P)的切片圆盘D = D_K, P。利用该切片圆盘，可以得到「帽子版本」Heegaard Floer同调中的一个同调类
$$ t_{D,P}\neq 0\in \widehat{\mathrm{HFK}}(K,P) $$ 然后断言：t_D, P是切片圆盘D的同痕不变量，并且t在D和2-扭结连通和时保持不变。如果记$V:=\widehat{\mathrm{HFK}}(K,P)$，那么有定理5.1表示：
$$ \widehat{\mathrm{HFK}}(-K\# K,P)\cong V^*\otimes V\cong\mathrm{Hom}(V,V) $$ 并且在这个同构下，t_D, P打到自同胚d诱导的映射d^* ∈ Hom(V, V)。特别地，如果自同胚d恰好是诱导roll-spinning的那个微分同胚，那么
$$ \LARGE{t_{D_{k,r^l},P}} $$ 能够在稳定同痕下区分这一族切片圆盘D_k, r^l : l ∈ ℤ。这一结果当然是强大的，因为对无穷多个扭结K，这些切片圆盘的补空间时微分同胚的。这样一来，我们也特别地得到了decorated knot (K, P)，使得它的某两个切片圆盘具有不同的不变量t。

一般地，还可以考虑两个扭结K, K^′确定的切片圆盘：

• 𝒞 : (K, P) → (K^′, P^′)：一个decorated concordance；

• D_𝒞：−K#K的切片圆盘；

那么类似与上面的定理，我们会有
$$ \widehat{\mathrm{HFK}}(-K\# K',P)\cong V^*\otimes V'\cong\mathrm{Hom}(V,V') $$ 但是，这个同构并非自然同构：它由一个「连通和球面」S决定。无论如何，选取一个这样的同构，t_D𝒞就会打到F_𝒞 ∈ Hom(V, V^′)中，这个映射的rank会给我们带来切片圆盘D的不变量（与连通和球面S有关），可以记为
rk_S(D) := rk(F_𝒞). 有一些结论

• 如若D_𝒞 = D_K♮D_K^′，则rk_S(D) = 1；

• 如若K ≠ K^′均不是素的，则「连通和球面」S唯一，此时rk(t_D, P)成为D的稳定微分同胚不变量；

下面一些结论可能更直接地和Heegaard Floer同调有关。

如果D是−K#K^′的切片圆盘，记rk(D) := t_D, P。

1. t是保持Alexander和Maslov分次的，于是rank(D)可以拆成rk_j(D, i)和rk(D, i)的分次版本。

• H ⊂ D⁴：与切片圆盘D横截相交的properly embedded三维球，满足∂H = S。

那么

Theorem 6.7 用trivial tangles (D³, D¹)「盖上 (cap off)」(H, D ∩ H)，可以得到链环L ⊂ S³，这个链环满足$\mathrm{rk}_S(D)\leq\mathrm{rk}(\widehat{HFK}(L))$。特别地，如果这个链环是一个扭结，那么
max_{i ∈ ℤ}rk_S(D, i) ≠ 0 ≤ g(L).

在t_D, P这个不变量上，还有一个结论：

Theorem (Kim, 2010). 对于任意扭结K，存在从K到K^′的concordance C，由某种K的satellite得到。利用这个concordance，可以有

• K, K^′, C : K → K^′ concordance；

• P, P^′: 分别是两个扭结的decoration；

• σ：concordance C上与P, P’均相容的decoration；

• 𝒞 := (C, σ)；

若D和D^′都分别是K和K^′的切片圆盘，并且他们的t不同，那么
t_{C ∪ D, P^′} ≠ t_{C ∪ D^′, P^′}

这是因为LHS = F_𝒞(t_D, P)，而RHS = F_𝒞(t_{D^′, P^′})，且concordance映射是单射。这个结论事实上告诉我们：如果t能区分「可能composite扭结」K的切片圆盘(D, P)和(D^′, P^′)，那么它就能在稳定同痕意义下，区分「素扭结K^′的切片圆盘」C ∪ D与C ∪ D^′。

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