从簇到概形

引言

在本篇中, 我们主要希望将簇上的认识, 推广到新概念 ``概形 (scheme)’’ 上来. 稍微回忆一下: 我们首先在代数闭域K上, 定义了仿射簇的概念, 其上的正则函数 (regular functions) 赋予了仿射簇环空间 (ringed space) 的结构. 通过有限多个仿射簇的粘接, 我们提炼出了预簇 (prevariety) 的概念, 最后把具有分离性的预簇称为簇 (variety). 对于概形, 我们同样希望这样做. 在本篇中, 我们会借助对概形各种概念的定义, 来巩固对簇的认识.

仿射概型

设R是一个环, 定义R的素谱Spec(R)为R中所有素理想构成的集合. 该集合也被称为R配成的. 作为仿射簇的推广, R事实上应该看成X = Spec(R)的多项式环.

e.g.设R = A(X), 其中X是代数闭域K上的仿射簇. 那么存在如下的一一对应 Spec(R) ↔︎ {Y ⊆ X是不可约子簇} e.g.若R = K[x] = A(𝔸_K¹), 其中ground field K是代数闭域, 那么R的仿射概形为 Spec(R) = {⟨x − a⟩, ⟨0⟩}. 希望表达的是, 概型先给出了R作为 ``多项式环’’, 然后用多项式环来定义对象. 为了定义R上的元素如何在X上赋值, 我们首先定义仿射概形X在P处的剩余域 (residue field), 作为f ∈ R在P处的取值范围: 设P ∈ Spec(R), 定义 $$ \boxed{K(P):=\mathrm{Quot}(R/P)} $$ 为仿射概形X在P处的剩余域. 那么元素f ∈ R在p ∈ Spec(R)处的取值应该落在K(P)中. 为此, 我们定义 $$ f(P):=\frac{[f]}{1}\in K(P), $$ 其中$\boxed{[f]=f+P\in R/P}$. 这样一来, 如果f(P) = 0, 那么[f] = 0 ∈ R/P, 即f ∈ P. e.g. 设X是代数闭域K上的仿射簇, R = A(X). 1. 取a ∈ X, P = m_a = I_X(a)是极大理想. 那么 $$ \begin{aligned} R/P & \rightarrow K \\ [f] & \mapsto f(a) \end{aligned} $$ 给出了域同构. 2. 如果Y ⊆ X是不可约子簇, 取P = I_X(Y)为R的素理想, 那么R/P = A(X)/I_X(Y) = A(Y), 对应仿射概形在P处的剩余域是Y上所有有理函数构成的集合, 即

3. K(P) = Quot(A(Y)) = K(Y), 其中K(Y)是Y上所有有理函数构成的集合. 此时, ∀f ∈ R = A(X), f(P) ∈ K(P) = K(Y)应当是Y上的有理函数. 细节上, f ∈ A(X)的等价类[f] ∈ A(X)/I_X(Y) = A(Y)是f|_Y, 那么 $$ f(P)=\frac{[f]}{1}=[f|_Y]\in K(Y) $$ 是f对应的函数作为Y上的有理函数的等价类.

我们希望在上面的例子中看到``遗传性’’: 如果f ∈ A(X), P是X的某个不可约子簇对应的理想, 此时这个理想是素理想. 那么f在P上的取值, 就是f作为多项式函数, 限制在P对应的不可约子簇上的函数, 对应的有理函数.