仿射簇的吹起

这里我们总结一下blow-up的结论和例子.

什么是blow up? 什么是例外除子?

首先, 我们介绍的是对affine variety X, 在函数f₁, …, f_r ∈ A(X)处的吹起. 将给定的这些函数合成为U = X ∖ V(f₁, …, f_r)上的函数 $$ \begin{aligned} f:U&\rightarrow\mathbb{P}^{r-1}\\ x&\mapsto [f_1(x):\ldots:f_r(x)] \end{aligned} $$ 于是我们可以得到函数f的图像 Γ_f ⊂ U × ℙ^r − 1. 尽管Γ_f ⊂ U × ℙ^r − 1是闭子集, 但却未必是X × ℙ^r − 1的中的闭集. 于是我们可以定义$$\tilde{X}:=\overline{\Gamma_f}\subset X\times \mathbb{P}^{r-1}$$为X在f₁, ⋯f_r处的吹起. 那么, 投影映射X × ℙ^r − 1 → X自然地诱导一个从blow up X̃打到X的投影映射 π : X̃ → X. 注意到π|_Γf : Γ_f → U ⊂ X是同构, 于是可以定义该吹起的例外除子 (exceptional divisor)为 “X̃中不打到U的部分”, 即 $$ \begin{aligned} \tilde{X}\backslash \Gamma_f&=\tilde{X}\backslash \pi^{-1}(D(f_1,\ldots,f_r)) = \pi^{-1}(X)\backslash \pi^{-1}(D(f_1,\ldots,f_r))\\\\ &= \pi^{-1}(V(f_1,\ldots,f_r)). \end{aligned} $$

子簇的吹起

如果Y ⊂ X是仿射簇X的闭子簇, 那么取定f₁, …, f_r ∈ A(X), 这些函数也能看作Y上的函数, 所以也可以将Y在f₁, …, f_r处吹起, 得到Ỹ. 问题在于: Ỹ和X̃是什么关系?

注意到Y × ℙ^r − 1 ⊂ X × ℙ^r − 1是闭子集, 而闭子集的闭子集依旧是闭子集, 所以f在Y × ℙ^r − 1中的图像之闭包, 一定是在X × ℙ^r − 1中的图像之闭包的自己. 进一步地, Γ_f(Y) ⊂ Y × ℙ^r − 1的闭包$\overline{\Gamma_f}$, 事实上就是$\overline{\Gamma_f\cap Y}$在X̃中的闭包. 换言之, $$\tilde{Y}=\overline{Y\cap U}.$$

这样一来, 对于一个仿射簇X, 如果它的不可约分解是X = X₁ ∪ ⋯ ∪ X_n, 那么$\tilde{X}=\overline{X_1}\cup\cdots\cup\overline{X_n}$, 尽管不可约仿射簇的blow-up未必也不可约(?), 但总有这个覆盖. 所以我们总是只需要考虑blow-up of irreducible varieties.

例子: 在单个函数处吹起

如果我们只选取一个函数f, 并且限定X是不可约的仿射簇, 那么X在f处的吹起X̃ ⊂ X × ℙ⁰ ≅ X. 这时,

1. 若f = 0, 则U = ∅. 此时X̃ = ∅;

2. 若f ≠ 0, 则U ≠ ∅是开集. 因为X是不可约的, 所以Γ_f = Ū = X. 进而X̃ = X.

从这个例子我们发现, 不无聊的吹起至少要对两个函数来做.

更强的包含

事实上, X̃不仅包含在X × ℙ^r − 1中, 我们还能找到另一个包含X̃的闭集.

Prop. 设X是仿射簇, X̃是X在f₁, …, f_r处的吹起, 那么 X̃ ⊂ {(x, y) ∈ X × ℙ^r − 1 : y_if_j(x) = y_jf_i(x)}.

吹起只取决于所选理想

事实上, 如果f₁, …, f_r和g₁, …, g_s生成A(X)中的相同理想I, 那么X在f₁, …, f_r处的吹起, 和在g₁, …, g_s处的吹起是典范同构的(存在同构, 使得某个包含π, π^′的图交换). 换言之, blow-up只取决于所选择函数生成的理想. 这样一来, 如果Y ⊂ X是闭子簇, 那么可以在I(Y)处吹起X, 称为在Y处吹起X. 这样一来, 我们就真的可以把一个仿射簇的一部分 “吹起” 了.

仿射平面吹起原点

最常用的还是仿射平面𝔸ⁿ吹起原点, 即吹起在coordinate functions x₁, …, x_n处. 此时的好处是: 我们会得到一个具体的的刻画.

Claim. $$\tilde{\mathbb{A}^n}=\{(x,y)\in\mathbb{A}^n\times\mathbb{P}^{n-1}: y_ix_j=y_jx_i\}.$$ 也即命题1中的等号成立. 此时, 该吹起的例外除子π⁻¹(0) ⊂ {0} × ℙ^r − 1 ≅ ℙ^r − 1是一个射影簇 (projective variety).